mineo.jpのメールだけがすぐ消える

BM320Iさんのご回答にも関連しますが、他の端末でPOP受信に設定していませんか？POP受信で「受信後にサーバーから削除する」を設定していると、おっしゃるような現象が起きます。

POP受信はメールをローカルに永久保存できるメリットがありますが、「受信したメールをサーバーから削除する」設定は外してください。私はPCではmineoメールをPOP受信していますが、受信したメールもサーバーに残すように設定しています。