すぐに圏外になる

各種設定をされ、アンテナバーが立っている間は通信できるとのことなので、APNは正しく設定されているものとして回答します。

Kei_Damyさんがお使いになっている端末は、mineo以外のSIMでは正常に通信できるのでしょうか？
失礼ながら、端末の故障もしくは初期不良が疑われるように感じます。
無線通信回路（基板）と端末内のアンテナが正しく接続されていなかったり、基板とアンテナとの接点が接触不良を起こしてアンテナの性能がでていないことが考えられます。

mineo以外のSIMをお持ちでしたら、他社のSIMに差し替えてテストしてみてはいかがでしょう？
同様の症状が出るなら、端末の不良の可能性が高い気がします。