旧スマホの電話帳を取り込むにはどうすれば？

他の方のご回答にもございますが、方法としては、
①Googleアカウントで同期
②microSDを使う
③アプリを使う
④Bluetoothを使う
の４つがあります。

>>SDカードで保存する方法は前のスマホにエクスポートしたが、新スマホでインポートしても読み込めなかった。

②の方法がうまくいかなかったようですね...σ(^_^;)
多くの方が回答されている①は、Googleアカウントに連絡先が保存されていない場合は意味がありません（保存先が「本体」または「デバイス」）...σ(^_^;)

となると、③か④の方法を使う、ということになります。

③を使う場合、「JSバックアップ」か「Zeetle」を使うのが良いと思います。こちらについては、僭越ながらiPhone→Androidへの移行を例にして、掲示板に記しております。2016年版となりますが、基本的には大きくやり方は変わっておりません。
◎iPhone→Androidへデータ移行《Zeetle編》
https://king.mineo.jp/my/wzjm/reports/7465
◎iPhone→Androidへデータ移行《JSバックアップ編》
https://king.mineo.jp/my/wzjm/reports/7553

④を使う場合、一部機種を除きますが、Bluetooth共有というかたちで移行が可能です。僭越ながら、下記掲示板
https://king.mineo.jp/my/wzjm/reports/27921
にBluetoothを使った連絡先移行を示しています。ここでは、ガラケー→スマホで行っていますが、旧スマホ→新スマホ（arrows M03？）でも可能です。

ぜひ、お試しくださいませ。

https://andropp.jp/cat_phonebook/001216661/

Googleアカウントを利用して電話帳を移行されたらいかがですか

参考まで

古い方のスマホに今お使いのSIM挿して使えますか？

古い方のスマホにGoogleの「連絡帳」というアプリがありますので取り込んで
それに入れればGoogleアカウントで同期するので新しいスマホで復元できる思います。
自分も利用しています。

普通SDカードに入れておけば新しいスマホに移行できるんですが
何かトラブルがあったんでしょうか？

他の方もお書きですが、SDカードも有りですが、PCでの連携も視野に入れて置くのも一考です。勿論Googleアカウントの紐つけをPCで行う事が第1歩ですが
http://k-tai.sharp.co.jp/support/changeguide/guide3_2/p01.html　一例ですが
SHARPの方法を挙げて置きます。また、ここにはGoogleplayのアプリで行う方法も載っていますので、ご参考に

私もGoogleアカウントで保存してます。
機種変更した時にも特にやることもなく簡単ですし、急に壊れてしまっても、連絡先がなくなることもないので便利ですよ。

arrows M03なら赤外線通信は無いかもしれませんが、前機種がAndroidならBluetoothがあるのではないでしょうか？

Bluetoothで移行できるかと思いますし、メールやNFCとかでも移行できるかと思います。

もちろん多数の方が挙げられているGoogle経由もありかと思います。方法はいくらでもあります。