マイネオメールについて

ここから、ちょっと解説含みで書きますね。

Eメールをリアルタイムで受信する事をプッシュ受信といいます。
めー吉さんが書いている「都度メールを開いて更新したりしないと受信は不可能」な受信をフェッチ受信といいます。

プッシュ通知を可能にするには次の２つの対応が必要です。

①プッシュ受信に対応しているメールサービスを使う。
②プッシュ受信に対応しているメールアプリを使う。

①に関して、「マイネオメールはプッシュ通知に対応していない」というコメントと「対応している」というコメントの両方が見受けられるんですが・・・。
実際に使っていると素早く通知される事が多いので個人的にはマイネオメールはプッシュ受信対応で大丈夫だと思ってます。

もし、アプリを変えてもダメならGメールアドレスを取得して使ってみて下さい。
(やり方が分からなければ別途御案内します。)

②に関しては回答No.2で書いた通りです。

メールアプリは好みで使い勝手も変わってくるので、気に入ったものが見つかるまで色々と試してみると良いと思います。