アップデートしても大丈夫？

auのiPhone5sで、iOS10.3.1をmineoプランAで今、使っています。無問題ですよ。

wzjm さんのおっしゃる通り、段階を踏んでやれば、ちゃんと出来ますから、ぜひ試して見てください。

また補足ですが、パソコンのアップデート（iTunes含む）を行っていない場合は、iPhoneのアップデートの前にパソコンのアップデートを行って、パソコンが落ち着いた状態にしておきましょう。トラブル回避につながります。

後、iOSがかなり古いので、使っているプロファイルもかなり古い気がします。本当の最初の最初に、公式アプリのmineoスイッチを入れておきましょう。プロファイルが原因でモバイル通信ができなくなった場合、mineoスイッチからプロファイルがインストールできると聞いてます。

※確か、プロファイルの書式がiOS9以降とそれより前で変わっているんですよね。過去のプロファイルが使えないような予感が。うろ覚え失礼。