メールソフトについて

mineoのメールは、受信がPOP3とIMAP双方に対応しています。
mineoは、IMAPプッシュ（受信したときにサーバーからスマホ側に直ぐに届く）にも対応しており、Gmailの設定の同期頻度を自動（プッシュ）に設定すると、ほぼ時間遅れなしでスマホに届きます。（他のメールアプリでもIMAPプッシュに対応しておれば同様です。）
メール設定で、POP3ではなく、IMAPに設定し、同期頻度を自動に設定してみて下さい。