LINE等を使うときにauID設定が出てくるようになった

えでぃさんが仰ってるように、auスマパスからインストールしたもの、もしくはデフォルトでインストールされてたものの場合に起こりうると、思います。私も同じ現象になりましたが、(原因は後者でした)、アンインストールして、Googleプレイからインストールしなおすことで、解決しました。
トーク履歴などのバックアップもしたつもりでしたが、うまく復元できずに、トーク履歴は無くなってしまいましたが、今考えたら消えても困るものはなかったな…って(笑)。
あとは実施前に移行のためのメールアドレスとパスワードはしっかり確認されることをオススメします。