朝起きたらバッテリーが減りすぎる

ソニーのちょっと古いスマホを友人から貰い受けて、マイネオで使い始めています。
今までiPhoneだったので、アンドロイドは初めて使います。

マイネオからSIMが届いて設定を終えて開通したことを確認して次の日バッテリーを確認したらiPhoneに比べてかなり減っていることに気づきました。

友人からこの機種はバッテリーが小さいからすぐ減るよとは言われていたけれど、使っていない時間でもどんどん減るのでびっくりしています。
バッテリーを100%充電した後すぐにスリープさせても２日で空になってしまいます。

使っていない時間でもどんどんバッテリーが減るのはなにか原因があるのでしょうか？

いろいろ調べてやったことを書きます。
・OSは最新の4.1.2です（それが最新だと友人が言っていました）。
・完全に初期化して使い始めました。
・使わないアプリは全部消しています（あんまり消せませんでしたが）。

SIMはデータ専用SIMで、SMARTalkで電話しています。
LINEをしたかったのでSMS付きです。
バッテリーは新品をヨドバシから買いました。

アドバイスございましたら、どうぞよろしくお願いします。