メールボックスをシンプルにしたいです。

初めまして！

メールアプリは⑴iPhone標準でしょうか？

過去にも同じ質問があり、回答者が下記のコメントをしています。

＊「chatやsentのようなboxができるのはIMAPの仕様なので、mineoメールだからというわけではありません。
POP受信の設定をすればご希望に添えると思います。」
＊＊この回答者はベストアンサーに選ばれていましたが、残念ながら今現在は、このスレッドは見ることができないようです！

POPのメールアカウント設定はこちらを参考に！
http://support.mineo.jp/usqa/set/initset/mail/4208847_8870.html

iPhoneのメール設定時に[IMAP]と[POP]を選択する画面で[POP]を選択してください。
上手く設定できますように！

メールアプリは何を使用されるのでしょうか？

chatsやcontactsといったフォルダはメールサーバーに設置されているフォルダなのですが、mineoメールはIMAP形式でメールサーバと同期させているために、メールアプリにも表示されてしまいます。

おっしゃるように、これらのフォルダをユーザーが使うことはありませんから、非表示にできればすっきりしていいですよね。
しかし、残念ながら削除することもできませんし、iPhoneの標準メールアプリでは非表示にすることもできないようです。