どの機種も動作不良。シムが故障？

Xperia25に関しても中古で手に入れたものでしょうか？
それとも新品でしょうか？

新品ならメーカーなり購入店なりに相談すると良いと思います。
初期不良の可能性があります。
中古ならば、バッテリーは弱ってると思いますので仕方がないかもしれませんね。

SIMのせいでそのような挙動になるのはあまり考えづらいと思います。

simそのものの不具合で電源落ちすることは、考えづらいと思います。
以前私は、挿入方法を間違えていて、通信できない状態になったことはありますが、電源落ちすることはありませんでした。

あたま33 さん
こんにちは
3G/4Gを利用するよりもwi-fiを利用する方が電池の消耗は少ないのは、あちこちで報告されています。両方切っておくと一番良いのですが、wi-fiが利用できる場合は、機内モードにしてwi-fiに切り換える方が電池の消耗を押さえられます。

SIM入状態と、SIM抜きWi-fiで比較されていますが、SIMを入れたままモバイルデータ通信をオフにして（または機内モードにして）wi-fiオンリーにしてみてはいかがでしょうか。

また、端末は、それぞれの機種で微妙に違う充電器や充電ケーブルを採用していますので、他機種に使った場合、最適な充電ができないこともあります。可能でしたら、専用のものを使って頂いて充電されてみてはいかがでしょう。　殊にXperiaの場合は、一旦フル充電に近くなってから、電流を落してフル充電に近づけるような事をやっているみたいなので、その辺も関係しているのかも知れません。充電不良を改善する方法もよくブログなどで紹介されていたと思いますので、お試し頂くのも良いかと思います。

元々のDIGNOではSIMは正常に使えていたのですよね？
Xperia23,25がSOL23,25(Xperia Z1,ZL2)だとすると、どちらも発売後2年以上経っていますので、使用状況によっては後者の機種も電池がへたっている可能性もあります。

Wi-Fiでは何時間くらい使えるのでしょうか？Wi-Fiでも短時間でにバッテリ切れになるようでしたら、電池寿命を疑ってください。
あと、SIMを入れておき、充電しながら使うことはできますか？これで普通に使えれば、やはり電池寿命です。