充電ケーブル

急速充電ではなく、通常の5V充電ならほとんどのType-Cケーブルが使えます。
急速充電のPD規格を満足した充電器とケーブル(両端がType-CでPD対応と明記されたもの)を使えば、MFi認証を受けていないAndroid用でも急速充電可能です。

> モバイルバッテリーで純正ケーブル以外のケーブルを使うと充電できない
ケースバイケースでしょうね。充電できないのは稀で、充電はできるが充電速度が出ないことはあると思います。