Apple ID

まず、Apple IDに使っているGメールの根本であるGoogleアカウントへはログインができますか？
これができれば、PCから当該Googleアカウントでログインし、容量を圧迫しているもの（おそらくGoogleフォトの写真かバックアップファイル）を削除もしくは移動させましょう。
参考資料；Gmailの容量不足を解消する方法。容量確認と減らす手順を解説。
https://googleworkspace.tscloud.co.jp/gmail/storage
おそらく100MBほどの削除でもGメールは受信できるかと思います。
仮に当該Googleアカウントのパスワードを失念しても、ログインしているスマートフォンからGoogleアカウント→セキュリティタブ→パスワード→パスワードを忘れた場合、で再設定します。

あとは、Appleコールセンター（0120-277-535）が9:00～21:00ですので、そこでスピーカーフォン使用でApple IDを変更するか、チャットを参照しつつ変更ですね。