データ移行について

可能性の1つですが、(故障の原因によりますが)
もしバッテリーのケーブルを基板から外せばリセットがかかり起動出来るようになる場合が有ります。
そうすれば、データ移行は簡単に出来ると思います。

以前のスマホはバッテリーが簡単に外せたので上記の様な場合はちょっとバッテリーを外すだけでリセット出来ました。

上記の作業だけでも修理屋では料金が高いかも知れません。
知識のある知り合いがいれば頼むのもありでしょう。それで起動するかどうかは保証出来ませんが。