アンドロイド端末のGmail

奥さんがmineo契約しました。
ドコモGaraxyNote3でDプランの契約です。
もともと端末に入っているGmailアプリなんですが
メールアプリを開かないと受信しません。
リアルタイム（プッシュ）で受信するにはどうしたらよいですか？
またアドレス登録してあるのに相手の名前が表示されず
アドレス表示になってしまいます。
名前表示にする方法も教えて下さい。