受信したメールがすぐに消えてしまう

メールアプリに標準メールアプリをお使いなら、このアプリからアカウント設定を削除して、myMailを使ってみてください。
現状で問題なければ、標準メールアプリを継続使用しても構いません。

古いアドレス宛のメールが残っているのは、下記の理由だと思います。
「変更前のメールアドレスは、メールアドレス変更後でも30日間併用可能です。30日間経過後は、旧メールアドレスはご利用できなくなりますので、大切なメールはバックアップをお願いします。」
https://support.mineo.jp/setup/guide/mail_address.html
古いメールアドレスのメールは30 日で消えてしまう可能性がありますのでご注意ください。

gooから送られたメールが消える原因として、gooが生成するメールがmineoメールのサーバーで正しく処理できていないため、標準メールアプリではサーバーから読み出せなくなっていることが考えられます(他の方も起きている可能性があります)。
今後も同じ現象が起きる場合は、やはりmyMailなどの他のメールをお使いください。