故障したスマホのデータを救出したい。

とりあえず
充電しながら電源ボタンを15秒以上長押しして反応をみる。
バッテリーが問題ない場合は画面に何か表示されると思います。

ダメだった場合は以下のブログを参考に試してみて。
スマートフォンやタブレットのバッテリーが完全放電してしまった時の対処法
https://plusablog.me/?p=4962