シム入れ替え後、「通信サービスはありません」と出る

aプランなのであれば、新旧端末の適合SIMは同じようですね。
入れたSIMは、電話もできるデュアルプランでしょうか？
もしそうであれば、電話はかけられますか？

電話は設定が仮に間違っていても通常は繋がりますので、電話ができないとなれば、一度ネットワーク設定のリセットを試してみてください。
設定、システムの中にあるのではないかと思います。

電話ができるのにネットに繋がらないのであれば、APN設定がおかしいと思います。
ここを参照して、設定を再確認してください。
https://support.mineo.jp/manual/network_setup/zenfone-501kl_a.html