SH-01FのOSﾊﾞｰｼﾞｮﾝｱｯﾌﾟについて教えて下さい。

SH-01F、良い機種ですよね。私も使っていました。

OSのバージョンアップは、docomo系の回線のSIMが入っていればできたように思います。（私が使っていたときには、mineoのdocomo回線simでした）
ただ…Android4.4までしかアップデートは配信されていないのではないでしょうか。今後の配信は期待ができないように思います。
↓　参考
http://ad-dl02.4sh.jp/verupflo/dash/support/d/sh-01f/download/update/index.html

さすがにバッテリーなども古くなっているかと思うので、「買換えた方が…」というご意見ももっともかと思います。セキュリティの面からも、新しいOSを積んだ端末を使われた方が良いかもしれません。
私自身は、三年前にお古を譲り受けて一年くらい使っていたのですが、バッテリーと電源ボタンがダメになってしまい、新しく買いました。