iTunes

根本的な解決にはなりませんが、一時的にiCloudの容量を引き上げるのはどうでしょうか（Wi-Fiの設定や、パスワードなどが移行できないのでiTunesに比べ若干手間がかかります）。

設定→Apple ID→iCloud→ストレージを管理→ストレージプランを変更
50GB 月額130円、200GB 月額400円です。