機種変更での設定

届いているのはメールではなく、iMessageではありませんか？
旧端末で「設定」>「メッセージ」をオフ、新端末はオンにしてください。

あとはヨッシーセブンさんのおっしゃるように、新端末でメール設定が完了していないのだと思います。