DSDS と110番

FOMA SIMを1枚だけ入れた状態でも、無理なのでしょうか？
（と言っても試すことは難しいので何とも言えませんよね）

知り合いで、MOTO G4にソフトバンクの3G SIM（データ通信の契約なし）のSIMともう一方にMVNOのデータ通信SIMを入れ、DSDS運用している方がいますが、110番には問題なく繋がるそうです。
ですから、通話SIMに通信契約がないこととは関係ないと思います。

また、GPSや番号通知はOFFにしていても110番の場合、強制的にONになるはずですので、そこも関係ないはずです。
2015年6月の法改正により、警察(110番)、海上保安庁(118番)、消防/救急(119番)へは、スマホから位置情報を取得できるようになっていると聞いています。

DSDSの問題でもなく、FOMA SIMだからという問題でもなく、端末の問題の可能性が高いような気がしますね。