SDカードへデータ転送

ストレージへの表示は分かりませんでしたが、以下の方法で移動できます。
最初からインストールされている「ファイル」というアプリ（水色に白抜きのアイコン）を使用します。

・アプリ起動後、画面左上の「≡」ボタンで移動したいデータを表示。
・表示画面内に移動したいデータが複数ある場合は、一つのデータを長押しすると選択状態に。続けてタップしていくと複数選択。全て選択したい場合は、画面右上の「…が縦になったボタン（表示の仕方が分かりませんでした）」を押して「全て選択」。
・同じく「…が縦になったボタン」より「移動」を選択。
右下に「キャンセル」「移動」ボタンがでますが、一旦無視。画面左上の「≡」ボタンで、移動先を選択。
画面右下の「移動」ボタンで移動完了。「キャンセル」だと中止。

もっと便利な移動方法があるかもですが、参考になれば幸いです。

FileCommander というアプリがプリインストールされていれば、そちらを使ってみてはいかがでしょうか？

もしＰＣがあれば「データ通信・充電」ケーブルで接続してＰＣのエクスプローラーからも操作可能です。
接続した際にステータスバーの通知を引きおろして「 USB を充電に使用する」ではなく「ファイル転送に使用する」を選択してください。


Androidスマホの管理アプリ：「File Commander」の使い方
http://www.android-recovery.jp/how-to-use-file-commander.html


ファイルコマンダーでSDカードにフォルダ作成＆内部ストレージデータを移動保存する方法
https://andropp.jp/cat_aboutapp/002711779/

該当機種は持ってませんけど、例えば画像を複数選択したり、フォルダーを選択したりしてごそっと移動させてしまえばよいのでは？(^_^;)
きっと標準でファイル操作系アプリってプリインされてると思うのですが…（Windowsでいうのとこエクスプローラー）