バッテリーが突然1％になって、エコモードになり、すぐに電源が落ちてしまいます。

おそらく、皆様がすでに仰っているように電池パックの寿命の可能性が高いと思います。
機種は違いますが、私も以前ほぼ同様の症状が出たことがあり、その際に調べた方法とauのサポートに指示された内容を書かせていただきます。
他の方と重なる部分が多いですが、ご容赦ください。

1、SDカードの抜き差し
2、SIMの抜き差し
3、電池切れまで使いきり、その後フル充電(2、3回繰り返す)
4、セーフモードで起動し動画視聴またはカメラ起動

4についてはauサポートの指示でした。最初は初期化を提案されましたが、初期化を躊躇したところ、セーフモードの提案がありました。
これは多分、アプリ同士が干渉しあって電源落ちに至ってるかどうかの確認ではないかと思います。
ですので、これを行ったから電源落ちが解消されるというわけではなく、これでも落ちたらいよいよバッテリーの問題という結論なのだと思います。
私の場合はこれでも落ちたので当時加入していた安心サポートで交換しました。

なお、ご存知とは思いますが、お使いの機種のセーフモード起動についても、念のため記載しておきますね。
・電源投入してauロゴが表示されている時に音量downボタンの長押し。
または、
・Android4.1にバージョンアップされているなら、バックライト点灯中に、［電源］キーを2秒以上長押し。［電源を切る］（長押し）。［再起動してセーフモードに変更］→［OK］
セーフモードはもう一度電源を入れると解除されます。

無事に解決するといいですね。