マイネオアドレスを取得。リアルタイムで受信表示させるためには？

mineoが提供しているメールサービスには「着信通知として使える機能(IMAP IDLE)」が備わっています。
しかし、残念ながらiPhone標準メールアプリにはこれを処理する機能がありません。
なので、通知に対応したメールアプリをダウンロードしてmineoメールを設定すれば実現可能です。

どのメールアプリがオススメなのかは、勝ちゃんさんや他の使ってる人の回答を待つといいかと思います。