古いブラウザーとは？

え～、自分はandroidは4.3以前の物しか持っていないので、くりりんたーぼーさんのスマホに当てはまるかわからないのですが、android4.3以前のスマホには標準ブラウザなるものがインストされていて、それのことでしょうか。
標準ブラウザはセキュリティサポートが切れているので、早急にchrome等の使用をおすすめします。
機種等を記載していただけると、あとに続く方が理解しやすいと思いますです。

ご使用の機種名やOS、またご使用のブラウザ名など記載頂かないと的確な回答は得られないかと思います

とりあえず、アプリのアップデートを実行してみたらいかがでしょうか？

使っている　スマホは、なんですか？　iphone なら　safari 、android なら　chrome などですが、いつれも　アプリストアー（google　play) などで　アプリをダウンロードすると　更新されます

2016/08/31に掲載されたお知らせです。

マイページなどにおける暗号化通信について
https://support.mineo.jp/news/475/

新しい暗号化通信方式の「TLS 1.1」「TLS 1.2」に初期状態で対応している
主なブラウザーは以下のとおりです。（2016年8月25日現在）
・Microsoft Edge（全バージョン）
・Internet Explorer 11
・Chrome 30以上（Chrome for Android含む）
・Firefox 27以上
・Apple Safari 7以上
・Androidブラウザ Android5.0以上
・Safari（モバイル） iOS5.0以上
これら以前のバージョンのブラウザーを利用されている場合、新しい暗号化通信方式に対応していない可能性があります。

お使いの端末と OS ( Android ) のバージョンが分からないので正確な事は言えませんが、手元の端末で確認した結果となります。


端末の OS が古いので、警告が出ているのだと思います。

標準ブラウザ（地球儀のようなアイコン）で起動して mineo のマイページにログインしようとすると「お使いのブラウザーは古いバージョンとなっております。」と表示されます。

手元の端末では OS アップデート時（ Ver. 4.2.2 へのアップデート）に更新されただけで、その後のブラウザのアップデートは無かったと思いましたので、１年以上前のものですから古いですよと言われても納得できます。
お使いの端末によっては２年以上昔になるかも知れないですね。

「Play ストア」から Google Chrome をダウンロードして、標準ブラウザの変わりに Chrome を使用すれば警告は出なくなります。
iPhone をお使いであれば標準ブラウザは Safari になると思いますので、同様に Chrome をインストールするなどの対応になってくると思われます。


確認端末
au Xperia UL (SOL22)
Android Ver. 4.2.2


OS のバージョンが新しい端末に変える（標準ブラウザの代わりに Chrome が標準になってると思います）という手もありますが、お財布事情や端末の思い入れなどで考慮されると良いのではないでしょうか？