どうしたらいいですか。

sandayou2005さんやDJ_SAMさんが丁寧に説明されているので、多少だけ付け足します。

●今からでは5月末の契約完了は困難と思われ急ぐ必要はありません。
auの請求は、月単位となりますので6月分については支払う事となります。
mineoは日数単位となります。
ただし、mnpの審査が多少厳しい事とmnp予約には期限が有りますので、早過ぎても遅過ぎても貴殿の負担増となる可能性があります。速い分にはmineo自身が安いので遅いより良い思います。
私ならmnp予約20日くらいで設定します。

●2ファクター認証に注意とsandayou2005 さんが言っておられましたが、iPhone7でデータを読み込む際に2ファクター認証が設定してある場合ワンタイムキーが発行者されますが、端末が完全でないと受け取れない可能があります。

iPhone7mineo dプランにされるのであれば、2ファクター認証になっていればiCloudより2ファクター認証を辞めるようにしてください。
2ファクター認証はセキュリティー強化の為なのでiPhone7にされた後2ファクター認証を設定された方が良いと思います。また、設定時にはもしもを考え直ぐに連絡が取れる方の携帯番号や固定電話でも複数登録しておく方が安全です。