マイネオの速度

きちんとプロファイルをインストールされているのであれば
呪文を唱えてみると良いですよ。

機内モード入り
電源切り
電源入り
機内モード切り
の順番に実行しましょう。

自分もau版iPhone 5sをmineo Aプランで使用中です。
節約スイッチONですとLINEのトークや通話程度なら全く問題ありません。
ブラウザでの検索は結構時間がかかりはっきりと「遅い」と思います。
その際は節約スイッチはOFFでの使用をお勧めします。
OFFのままでも都市部の平日の11：30～13：30位は混雑で多少はもたつく報告が多くされています。


設定についてですが、表示が au 4GとなっているのであればLTEの電波を拾えていると思います。
クリームメロンソーダ さんの回答をまず実施してみてください。

家の中でもwi-fiを切って4Gで使えるか、節約スイッチon/offも含めて試されてはいかがですか？。万が一4Gでつながらないようなら、設定に問題がありそうです。

iPhone6以降のプロファイルと5ｓ用のプロファイルは別です。もしかして別のプロファイル入れていませんか。iPhone6plusで使用していた時問題なく作動しました。

私はDブランなので一概に言えませんが、一般的に格安シムは三大キャリアから回線を借りているため、回線が混みそうな時間はとうしても遅くなります（三大キャリアは当然自前の顧客を優遇するため）

一般的に平日だとお昼が混みますが、ゴールデンウイークだったのでスマホ使う人が増える可能性あるため、混んでいたかもしれません。今日のお昼を除いて試してみるとよいと思います。

後、違約金の件ですが、auを解約しなければ違約金は発生しません。例えばmineoに乗り換えせず、そのままau継続なら違約金は発生しません。ただ、ひとつ注意があって、MNP予約番号取得時に、auの担当が継続形MNPで予約番号発行したときなら、問題ないですが切断形MNPで予約番号発行したら、違約金は避けられません。継続形は予約番号有効期間過ぎて乗り換えなかった場合はその名の通り予約番号がキャンセルとなり契約継続になります。切断形は予約番号有効期間過ぎて乗り換えなかった場合、その名の通り契約が切断されるものです。

まあ、普通は継続形で受け付ける「はず」なので大丈夫と思いますが。ちなみに継続形で予約番号有効期間切れて、やはり乗り換え希望の際は新たに予約番号発行が必要になります。

LINEがつながりづらいは正直今まであまりなかったので、エリアや時間帯の影響をかなり受けるところなのだと思います。
こればっかりは正直どうしようもないですね。。