gmailが送られても、着信表示があったりなかったりする

Gmailのラベル機能をお使いになっていませんでしょうか？
2つの現象は、ひょっとするとそのせいではないかと思いました。

通知があったりなかったりするのは、例えば「メイン」の通知設定はONになっているけど、特定のラベルの通知設定はOFFになっているからではないでしょうか。

また、「ラベルの管理」内の「ラベルの設定」で「新着メールごとに通知する」を複数のラベルでONにすると、ラベルの条件次第では、着信音が何度も鳴るといったことが起こる可能性があるように思いました。
その場合は、差し支えなければ、「新着メールごとに通知する」をOFFにして様子をみてください。

もしラベル機能の設定に問題がない場合は、通知が不安定な原因は節電/メモリ解放アプリにあるのかなと思います。
そういったアプリをなにかお使いでしょうか？

節電/メモリ解放アプリには、たいてい「除外リスト」のようなものがあると思います。
まずは、「除外リスト」にGmailアプリを設定して様子をみてください。
それでも通知が不安定な場合は、節電/メモリ解放アプリを一度アンインストールして様子をみることも検討してみてください。