メールボックス使用の警告メール以降、メールが全く届かなくなった。

警告とは何でしょうか？

メールボックス容量がいっぱいになったということであれば、まずはメールボックス容量を5GBに拡張してみてください。無料でできます。手順は以下をご覧ください。
https://support.mineo.jp/usqa/service/basic/mail/4000067_8851.html

iPhoneのメールアプリでは、通常IMAPアクセスのため、iPhone上からメールを削除してもメールサーバーに残っているメールを削除することはできません。POPアクセスにすれば、メールを受信後にサーバーからメールを削除する設定も可能です。

iPhone、iPad、iPod touch でメールアカウントを追加する
https://support.apple.com/ja-jp/102619

Windows用で有名な、メールサーバー内のメールを直接操作できるnPOPというアプリがあります。mineoのメールもPCで設定すればnPOPでアクセスできます。これでメールサーバーに残っている任意のメールを削除することができます。
iPhoneにもnPOPアプリがありますが、400円の有料アプリです。

「nPOP」をApp Storeで - Apple
https://apps.apple.com/jp/app/npop/id368477936