ドコモキッズ携帯からのショートメールについて

受信できますよ。

富士通のキッズケータイF-03Jの説明。
http://www.fmworld.net/product/phone/f-03j/useful.html

あらかじめ電話帳に電話番号を登録して、そこにしか掛けられないのですが、最大50件まで登録できます。その50件がすべてドコモ本家との契約などということはあり得ない話なので、当然それ以外のキャリアとの通話やSMSもできることになります。
kaosuma86 さんもドコモ回線なら、何の問題があろうかというところです。

また、保護者など、よくかける相手の連絡先をあらかじめ登録（最大4件）しておけば、ワンタッチはっしんキーですぐに掛けられます。

それで、メール関係はSMSだけ使えます。
F-03J FAQ
http://atft.fmworld.net/faq/f-03j/f-03j_qa.cgi?faqno=18
「質問 　使用できるメールの種類は何がありますか?
回答 　F-03Jで使用できるメールは、電話帳に登録した携帯電話番号を宛先にして文字メッセージを送信するSMS のみです。他キャリアからのSMSも受信可能です。」

他キャリアからのSMSが受信できるのに、こちらから送信できない理由はないです。
ダイヤルが付いているわけではないので、あらかじめ電話帳に登録したところにしか発信できないというだけの話ですね。