AndroidからiPhone6sに機種変更した際にメールが移せない

nori@seikapapa さんのご回答とほぼ同じ内容になりますが…

mineoのメールの話ですか？以前使われていたメールアプリ名と、mineoのマニュアルにあるIMAPで設定していたか、それともPOPで設定していたかを教えてください(どちらも分からなければ回答不要です)。

Gmailは移行できたとのことですが、Gmailの設定をしただけで同じメールが受信できたのですよね？
myMailアプリならmineoのメールアドレスとパスワードだけで設定できるので、使ってみてください。上手くすればGmailと同様に同じメールが受信できます。その後、他のメールアプリに変更しても同じメールが受信できます。

上記の理由は、メールがサーバに残っているからです。ただし、無料のメールボックス容量追加オプションを申し込んでいないと、60日経過すると消えてしまいます。下記を参照してください。

メールボックスの容量とメール保存期間について教えてください。
https://support.mineo.jp/usqa/service/basic/mail/4000067_8851.html