マイネオメールについて

5sと6で同期したわけでないなら、6のメールソフトでmineoメールアドレスの設定が必要ですよ。

端末を変えたというのはどのようなことをされたのでしょうか？
SIMを差し替えただけであれば、電話が出来るようになっただけで、ネットも使えないのではないでしょうか？

新端末側でメール設定をしなければ送受信できません。
また、mineoメールは、複数の端末で送受信できますので、新しい端末に設定したとしても、前のiPhone5Sで受信できます。
災害メールについても、どのアドレスに届いているのかわかりませんが、これについても、新端末側でメール設定が必要です。