緊急メールに対応してないのですか？

緊急災害速報のエリアメールは対応してますよ。
お正月に川崎市では誤報がありましたが、ちゃんとなりました。
機種はiPhone6plusにaプランです。

川崎市誤報の記事を参考までおいて置きます。http://www.asahi.com/amp/articles/ASK113FW2K11ULOB002.html

メールには、すぐに受け取れるものとそうでないものがあります。

GmailをiPhoneの「メールアプリ」で受信しているとすぐに受け取れません。

GmailアプリをiPhoneに入れ、それでGmailを使えばすぐに受け取れるはずです。

他には、iCloudのメールアドレスであればiPhoneの「メールアプリ」でもすぐに受信できます。

Gmailアプリならば即時(プッシュ)で受け取れます。
私も市役所・団本部からの出動メールを受け取っています。
歳末警戒お疲れさまでした。出初式がんばりましょう(終わってますか)。

自分は使っていませんが、@icloud.comのメールでもプッシュで受け取れるようです。iPhoneのGmailは着信音を変更できないので、@icloud.comを専用にして着信音を変えるという方法がいいかもしれません。
他にandroidを持っていて、androidは送信者により着信音やバイブレーションの動作を変えられます。こちらを長い着信音、長いバイブレーションにして、就寝時はandroidをマナーモードオフにして枕元に置いています。

ガラケーがFOMA契約の場合は、FOMAで通信できるスマートフォン使ってマルチデバイス利用の設定をおこなえば、iPhone 5c(au)でdocomoメール受取れますよ。
もしマルチデバイス利用の設定を行う場合は、パケ・ホーダイ ダブル等の契約をしていない場合は、契約したほうがいいですよ。

参考になりそうな、ページ貼り付けておきます。

https://www.nttdocomo.co.jp/service/docomo_mail/other/
https://www.zimuba.jp/kakuyasu-smartphone-guides/good-usage/163/
http://iphone-report.sakura.ne.jp/archives/80.html