MNP切り替え後のInternet接続

通話ができるのなら、あとはプロファイルの読み込みの問題だけだと思います。

もう少し情報をいただかないと、どこがまずいのか判断できません。
・「設定」→「一般」の下段に「プロファイル」という欄があると思いますが、そこに「mineo auプラン」と表示されていますか。
・iOSのバージョンは幾つですか。
・モバイルデータ通信の「４Ｇをオンにする」の右隣には何と表示されていますか。
そういう点も明らかにしてもらえれば、何かヒントが得られるかもしれません。

また、プロファイルの読み込みは一度ではすんなりいかないことが多々あります。他の方も言われているように、電源のオンオフやネットワーク設定のリセットをやらないと駄目な場合も多いです。