ﾈｯﾄﾜｰｸ接続できず…私だけ？

大変お困りのようですね。
既に回答があったかも知れませんが。
質問の内容から以下の対策が考えられます。
1.自宅でWi-Fiが頻繁に切れる。
これは自宅のWi-Fiの機器(ルータと言う)とXperia間の通信エラーが起こっている場合に発生します。
自分の体験ではソニーのスマホやタブレットは頻繁にでます。
対策はWi-Fiの電源を一度切って再度入れ直すと暫くは使えます。世間ではこれを相性と言いますが、どちらかの機器がソフト、ハードの規格を厳格に守っていないためだと思います。

2.外出先でネットが使えない。
これは多くの場合スマホのネットワークのプロファイルが正しく設定されてない可能性が高いです。マイネオのアクセスポイントに正しく繋げるにはそのそのプロファイル設定が必要ですね。

以上