モバイルデータ通信ができません

一度、SIMを外してSIMの金属面をティッシュで拭いてから再セットしてみてください。これでアンテナが立てばAPN設定してください。
ダメな場合はSIMか端末の不具合が考えられますので、もしご家族などとSIMの交換ができるなら交換してどちらが悪いのか切り分けてみましょう。

もう一つ、そのAndroid端末は中古で買われたSoftBank/Y!mobile販売の端末だとしたら赤ロムになっている可能性があります。下記のサイトで調べてみてください。
https://ct99.my.softbank.jp/WBF/icv

機種名を教えていただくともう少し詳しくアドバイスできます。