auからドコモへ

「会社内がドコモ回線しか利用出来ない」のなら、プラン変更でAプランからDプランに変更しましょう。ほかの契約に関しては何も変えなくても良いし、使い方も(転送設定などキャリアに依存すること以外は)変わりません。

変更手続きの方法は他の方が回答されているので、mineoコインで手数料を無料にすることに関してだけご回答します。
あらかじめコインからクーポンへの交換が必要です。mineoマイページ(マイネ王マイページではありません)からファン∞とくに入って、上の画面の赤枠で囲った部分からクーポンに変更します(コインが6枚無ければお持ちの枚数に応じてどちらかは諦めて料金をお支払いください)。
プラン変更の手続き途中でクーポンを手数料の支払いに充てる箇所があると思います。