オフラインでインターネットが接続できない

まずは、現在の状況をスクリーンショットして、追記でも良いのでアップしてください。

エスパー回答になりますが、
>>Wifi環境であれば問題ないです。
...ということは、Wi-Fi環境下ではインターネットできるが外では使えない、と推察されます。

オフライン＝モバイルデータ通信オフ、であればアンテナが立っていて電話番号が表示されているかと思いますので、モバイルデータ通信をオンにして、念のためネットワークのリセットをかけて再起動してください。その後、APN設定を再設定してください。

オフライン＝圏外（禁止マーク）、であれば起因が端末かSIMか...の切り分けが必要です。ご家族の方の端末（SIMフリーもしくはKDDI系の端末推奨）にmineo_AプランのSIMを挿れて、アンテナが立てばSIMは大丈夫です。ご家族の方がKDDI系をお使いならば、そのSIMをSCG07に挿れてアンテナが立たなければ端末の可能性があります。

結果、SIMがおかしい場合はmineoマイページにて再発行を申請してください。
結果、端末がおかしい場合は機種変更を検討するかお近くのauショップで修理の相談をしてください。