Gmail

Gmail以外のデータ通信、例えばブラウザでのホームページ閲覧などを外出先で見ることはできますか？

データ通信が全てできないなら、mineoプロファイルのインストールが出来ていないと考えられます。
プロファイルインストールはやり方がいくつかありますが、私のおすすめは、mineoアプリのメニューからプロファイル設定を端末にダウンロードして、端末の設定、一般、プロファイルの中にダウンロードされたプロファイルをインストールする方法です。

他のアプリでのデータ通信ができているなら、Gmailアプリへのデータ通信許可がされていないと考えられます。
設定、モバイル通信の画面、下の方に、アプリごとにモバイル通信を許可するスイッチがあります。
ここで、Gmailアプリの部分を見てください。