今更ながらの質問です。4G通信とWi-Fiと、どちらがバッテリーに優しいですか？

そもそもバッテリー交換をした方が良いです。電池の消耗もそうですが、熱をもったり色々と不具合が出てきます。早急にしましょう。
一番の相違点は通信距離が違うこと
4G（LTE）とWi-Fiの相違点は通信距離です。
3Gや4G（LTE）とは異なり、Wi-Fiは電波の届く範囲が数十メートル程しかありません。
3G、4G（LTE）は遠くにある基地局を利用して通信をするのに対し、Wi-Fiは近くにある無線LANを利用して通信するという違いがあります。しかし、Wi-Fiを活用すれば、スマホの毎月利用できるデータ通信量を節約することができる事です。ルーターによっては2階まで飛ぶのもあるので、用途を考えてみてください。