インターネットに接続出来ない

これは、本体かSIMかの「切り分け」が必要ですね。

mineo_Dプランですから、SO-01J以外のドコモの端末（同じ端末があれば、当該端末以外のもの。SIMロックフリーかつドコモ回線対応の端末でもOK）に挿し替え・APN設定をしてどうか...をまず見ましょう。
◯問題無し→当該端末？
●同じ症状→SIM？

逆に、当該端末にmineo以外または他社MVNOのSIMを挿れてAPN設定をしてどうか...でもOKです。この場合、バックアップをしたうえでソフトウェア更新をして、端末のバージョンを最新にしておきます。
◯問題無し→mineo_DプランのSIM？
●同じ症状→当該端末？

なお、仮に修理する場合は、ソニーではなくドコモショップとなりますが、高額な修理代金となる可能性が非常に高いです。それならば、何かしらドコモ回線対応の端末を用意したほうがいいです。

SIMカードの抜き差しは試されましたか？

SO-01Jユーザーの一人として回答してみます。

「電波のマーク」は2種類あるのですが、三角の方はdocomoの回線から来る電波を、扇形のマークはWi-Fiの電波を表しています。
どちらの電波が弱くなっているかで対応が変わりますので、よろしければ確認をお願いします。

docomoの電波が弱い場合は、電波の良い所へ移動するしか対策が思いつきません。

Wi-Fiの電波が弱い場合ですが、これはいろいろなパターンがあります。

・自宅のWi-Fiに接続しているが、親機から遠くて電波が弱い

・自宅のWi-Fiに接続しているが、2.4GHz帯で接続しているので電子レンジを使っているときだけノイズで接続できなくなる

・自宅のWi-Fiに接続しているが、近所で同じ電波を使っているため位置によっては自宅Wi-Fiの電波が負けてしまう

・自宅にはWi-Fiが無いのに、近所にフリーWi-Fiがあって勝手に接続してしまう

上記のような状態では、スマホ側でWi-Fiに優先的に接続しようとするのに実際は電波状況が悪いため、スマホがWi-Fi接続を諦めるまではインターネット接続が非常に不安定になります。

特にフリーWi-Fiにギリギリ接続可能な位置にいると、この現象が繰り返し起こるので、かなり厄介です。

何か思い当たることはありますでしょうか。

登録制のフリーWiFiや
会員制のdocomo WiFiなどに繋がっているのでは？

次回エラーしましたら
手動でWiFiを切ってみましょう。

私も同機種使用しておりますが、私の場合図書館や映画館に行くと電波が途切れることはありました。一度機内モードにして電波を遮断し、再度機内モード解除するような事をして様子見しています。