AU IPhone5 9.21 にマイネオ...

機内モードのオン・オフを繰り返してもダメだったでしょうか…。

または，試されてる近辺が，auのBand1の守備範囲外だったり。

この手の質問で意外とやってないのは、
初期化というか、復元作業だけどそこも試されました?

>一度だけ3G
という事は、LTE一度も掴んでないのですよね？

Mineo a2プロファイルを入れると、LTEでのみ通信出来るので（1.x〜3Gは掴まない）、ご自身のエリアがLTEエリアの場合見直す点は、

・a2プロファイルを再度インストール
・コンクリートや壁などで案外LTEの影スポットがあるので、窓際等に移動

とかでしょうか。
因みに、デュアルである事以外全く同じ端末環境ですが、私の端末は当初から通信快調です。

プロファイルに関してですが、mineo-a2の方でないと通信できないので、
一度お確かめ下さい。
http://support.mineo.jp/setup/guide/ios_network.html

機種、プラン、OSとも全く同じ環境で使っています。
私の場合あっけなく開通してしまったのですが、会社の室内だと1xになってしまいます。また、屋外でも金属屋根の下など、苦手なところがあるようです。

au iPhone5(iOS9.2)にデュアルプランのmineoSIMを入れて使っていますが、以前その現象が起きたことがあります。
確かOSが狂っていて、本体の復元をして、mineoSIMでアクティベートした後プロファイルをインストールした所で復活しました。
この時、プロファイルをインストールしても「圏外」と表示される場合はauSIMを挿入して電波を掴ませると大丈夫なはずです。
一度試してみてください。

また、復元する際はDFUモードで復元することをお勧めします。
復元をするとデータはすべて初期化されますのでご注意ください。

手順としてまとめると、
1.iPhoneをDFUモードにする。
(PCに接続してiTunesを起動した状態でホームボタンとスリープボタン10秒長押し、スリープボタンだけ離してホームボタン10秒長押し)

2.iPhoneを復元をクリック
3.復元が完了したら、mineoSIMを挿入してアクティベート
4.(可能な場合)auSIMを挿入し、電波を掴ませる
5.プロファイルをインストール
6.インストール完了後、念のため再起動
7.ステータスバーに「●●●●● au 4G」と表示されていることを確認
8.場合によってはバックアップを復元。

これで復活するはずです。一応試してみてください。

iPhoneの設定からネットワークのリセットはされましたか？私は、ネットワークのリセットをしてから、プロファイルのa2を入れたら、調子いいです。私のはａｕ5sなので、少し違うかもしれませんが。設定→一般→リセット→ネットワーク設定のリセットです。wifiの設定の入れ直しが必要になりますが、どうしてもダメなようなら、試してみてください。