docomoとauの電波強度は本家と同じ？

「電波の強さ」については本家でもmineoでも変わりません。
Aプランについてはmineoでは3Gデータ通信ができないので本家とはエリアに差ができることはあります。

ただし、機種による使える周波数の違いだったり、機種ごとに感度の違い等がありえるのでアンテナバーの数が違うということはあります。
また、同じ機種で同じ場所であっても同じ電波を掴んでいるとは限らず、どちらかが少し離れた弱い電波を掴んでしまうということもあります。
これはmineoだからということではなく、どちらも本家契約であっても発生します。

今回は4Gでの接続にはなっていたとのことなので電波は届いてる状態だとは思いますが、その時に通信できなかった理由は現状ではわからず、その場の対処方法としては「機内モード入り切り」が効果があるかもしれません。
いったん切断して再接続することによりデータがちゃんと流れる可能性があるからです。
これも本家契約でもたまに発生しうることなので、mineoか本家かにかかわらず何か通信がうまくいかないなと感じたら機内モードを試してみるのもオススメしておきます。

通信できなかった時間がお昼休み時間(平日12時～13時)だったのであれば、mineoの混雑の可能性が高いです。
この場合はsimをルーターに入れてもあまり変わりないと思います。