月初めのデータが付与されません

通常の契約なら付与されますね。
私の家族の回線に付与されていることが確認できました。

付与されていないとは、どこを見て判断されたでしょうか？

例えば、mineoアプリでデータ容量詳細を見てでしょうか？
そこのスクショをアップいただけるともう少しわかると思います。