開通したかどうかを確認する方法

使えているなら間違いなく開通していますね。
マイページの表示は遅れますので、気にしなくてもいいですよ。
念のため、テストコール111にも掛けてください。

開通とは別の話ですが、敢えてVoLTE SIMではなくて、nanoSIMを申し込まれたのですか？

事務処理が遅れているのでは？

すでに解決済みですが、参考として。

新規の場合だと 20時までに 10MB 以上の通信を行う、または SIM カードを発送した翌日を１日目として１０日目が「サービス利用開始日」となります。

その日の通信量が確定するのは０時を過ぎて翌日になる必要があると考えられますので、翌日の午後ぐらいには反映されていると考えればいいと思えます。
システムの負荷の都合でリアルタイムに反映してないんだろうと思いますね。

今まで何回か新規で申し込みを行ったことはありますが、夜８時までに 10MB 以上の通信を行っていても即時反映されたことはないのと、日付が変わって０時過ぎにすぐ見ても反映されていなかったです。
恐らく明日の午前９時頃には反映されているとは思いますが、午後ぐらいに確認されてみてはいかがでしょうか？


課金開始日（ご利用開始日）とはいつですか？
https://support.mineo.jp/usqa/use/change/course/40002576_8879.html

新規でのお申し込みの場合
課金開始日（ご利用開始日）は、弊社がSIMカードを発送した日もしくは店頭等で手続きを完了した日の翌日を1日目とし10日目の日、また初回パケット発生日※のいずれか早い方の日といたします。

※ご利用開始が20時以降かつご利用開始当日の通信量が10MB未満の場合は、その翌日が課金開始日（ご利用開始日）となる場合があります。

キャンペーンが適用されているのか気になっているのでしょうか？
終了予定に近づいたらサポートセンターに電話すれば教えてくれますよ。私はいつもそうしています。