機種変ララコールの電話帳

設定→LaLacall→連絡先ON
になっていますか？

機種変をしたとき、データ移行の作業をしていないのではないでしょうか？
端末のバックアップ、新端末への復元を行えば、すべての連絡先が移行できるはずです。
そうでないなら、iCloudや、googleアカウントに紐付けられた連絡先だけが、新端末で見えるようになっているのだと思います。

基本的に連絡先は本体に保存するのではなく、iCloudやGoogleに保存しましょう。同期をオンにしておけば、端末を変えたときや複数の端末で最新の連絡先が使えます。

前のデバイスで連絡先をどこに保存しているのでしょう？
まず確認しましょう。

iPhone5s→iPhone7などに機種変更された場合は、iTunes や iCloud からでも、連絡先（アドレス帳）が復元できない事があります。

iPhone5sで、画像の◎Eメール（ezweb.net.jp）が存在してしていた場合です。
◎Eメールの確認手順　「設定」→「一般」→「プロファイル」

理由としては◎Eメール（ezweb.net.jp）に紐付けられている連絡先は、auのサーバーに保存されるようです。

解決法のひとつとして
https://king.mineo.jp/question-answer/端末／各種設定／操作 各種設定/3753
の回答11で解決方法が投稿されています。
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ご回答頂いた皆様、ありがとうございました！
無事、バックアップできましたことを ご報告して締めさせて頂きたいと思います。
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auからのMNP後でも auのプロファイルが残っている場合は
http://www.amamoba.com/howto-iphone/contacts-kit.html

こちらのサイトで 紹介されている「連絡先 バックアップ - IS Contacts Kit Free」という*アプリで バックアップし、iCloudの連絡先をオンにして インポートすることで auのプロファイルに紐付いていた連絡先を iCloudへ移行することができました。
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この*アプリは最近のiOSに対応していないので、利用できないとの報告もあったように記憶しています。

Googleアプリを利用して、連絡先の設定をONにしていると、復元できるとの情報もあったように記憶しています。