ios 11.2.1

iOSアップデート直後には、バックグラウンドで処理がされるために
一時的にシステムが不安定になったり、遅くなったり、充電が多く減るといった事象が起こる場合があるようですので、場合によっては数日で改善されるかもしれません。

既出ではありますが、バッテリーの劣化が原因である可能性もありますが、そこはAppleに電話してバッテリー診断をしてもらえば、すぐに判明します。
また、バッテリー劣化による動作が遅くなる事象については近いうちに新しいアップデートで対応するような情報もあるので、待つのもありかもしれませんね。

心配なのは、それ以外の場合ですが
確かに最新のアップデートに対してiPhone６だと、スペック的に苦しいのではないか？という意見もちらほら聞きます。
私もiPhone６なんですが、まだ１０のまま使っています。
サブのiPhone５sは最新バージョンですが、スペックの問題だと思いますが、うごきはまったりですw

アップデート自体に失敗している場合には、極端に動きが悪かったり、アプリのクラッシュが起きたりする場合があります。特定のアプリだけの症状であれば、アプリ自体のアップデートや最新OSに対応済みかどうか？アプリの入れ直しなどで改善する可能性がありますが、そうでない場合、かねやん さんの回答のリンク先に情報があるようにOSの入れ直しが必要なケースもあります。
これはiPhoneの初期化が伴う作業となりますので、iTunesが必要となりますし、慣れていない場合にはAppleサポートを利用するといいと思います。