マイネオショップにてプラン変更（A→D）後、SIMカードは即もらえます？

基本データ容量の変更は26日〜末日までは行えません。

mineoショップでの変更申込受付の中に、基本データ容量変更はないので、店頭へ行っても変更できないのではないかと思います。
また、プラン変更については、本人確認書類やeoIDなどをお持ちになる事で手続き可能で、SIMの在庫があればその場で渡してもらえます。
(本人確認書類は手続き内容によっては不要と記載がありましたが、必要なのに忘れて何もできないよりは、持って行って不要な方がいいですね。)

念のため、店頭へ電話して問い合わせて、可能なこと、不可能なことを確認されてから行かれることをお勧めします。

店頭での受付や必要書類について
https://mineo.jp/sph/shop/support/

基本データ容量変更(26〜末日不可)について
https://support.mineo.jp/setup/guide/capacitychange.html

プラン変更の流れについて
https://support.mineo.jp/flow/plan_change_details.html

プラン変更での利用不可期間について
https://support.mineo.jp/usqa/use/change/plan/4211606_9452.html

一つ気になったのは、本人確認書類のアップロードでエラーが出るとの事で、基本データ容量変更したいわけではなくてプラン変更(Aプラン→Dプラン)をしたいんですよね？

プラン変更できない期間は特に書かれていないので、26〜末日でも関係ないと思うのですが、サポートダイヤルで分からないというのは困りますね。
私はプラン変更ではなくタイプ変更をした事があるのですが、キャンペーンによる割引が終了してから変更したくて、
月が変わって1日になった深夜0時過ぎに手続きをしました。そのタイミングでは問題なく手続きが完了しました。