ガラケーからの乗り換えについて

申し込みに当たっては、書面申し込みの場合でも必ずメールアドレスを記載するようになっているので、メールアドレスは必要だと思いますが、何もGmailでなければいけないわけではありません。とにかく連絡用にメールアドレスがあればよいです。

りつ☆ さんが、ご自分のスマホで、旦那さんようにヤフーのメールアドレスを取得して、それを連絡用メールアドレスとして使えばそれで事足りると思います。ヤフーメールアプリをダウンロードして、[アドレスなしで登録]で取得すればよいと思います。
「Android　Yahoo!メールアプリのインストール方法を紹介」をご参照ください。
https://android-lb.com/2015/12/18/78

また、書面による申し込みにすれば、申し込み内容に特別問題がなければ、取り立ててメールで問い合わせ連絡が来ることもないと思います。
「書面でのお申し込みの流れ」
http://mineo.jp/mailing/