申込のタイミングは？

みなさんおっしゃっているように、auの4月分利用料は日割りになりませんので、4月中そのままauを使い、4月末にmineoに回線切替できるように手続きを進めるといいと思います。

具体的には、4月17日にauでMNP予約番号を取得し、21日までにmineoの契約申し込みを済ませるのが最善だと思います。
なぜこの日がいいのか、理由は下記のとおりです。

まず、取得した予約番号は発行日を含めて15日間有効です。
したがって、4月17日に取得した予約番号は5月1日まで有効ということになります。

mineoにMNP転入する場合、SIMカードが届いたあとにご自身で「回線切替手続き」という作業をすることになるのですが、もしご自身でこの手続きをしなかった場合、「MNP予約番号の有効期限前日」に自動的に回線切替手続きがおこなわれます。
「回線切替手続き」が完了すれば、その時点でauは自動的に解約になります。
万が一、回線切替手続きを忘れてしまっていたり、なにかの事情でできなかったとしても、この場合4月30日に自動的に回線切替手続きがおこなわれるので安心ですし、無駄がありません。
Jinponさんのおっしゃるように、4月30日は日曜日ですから、その点でも最善ではないかと思います。

なお、回線切替手続き中は、約30分間、通話・通信ができなくなります。
また、mineoの4月分利用料金は日割り計算されますので、この場合4月分は1日分だけの料金ですみます。

また、4月21日までにmineoに申し込むというのは、MNPでmineoに申し込み手続きをする時点で、予約番号の有効期限が10日以上残っている必要があるためです。